Deze recensie is begin januari verschenen in het Nederlands Dagblad. De titel is boeiend, net als het onderwerp. Hoe zit het nu met de ‘onredelijke effectiviteit van de wiskunde’? Waarom kan je de wereld met wiskunde beschrijven? Wiskunde is uiteindelijk bedacht door mensen, dus dat het hele universum zich in wiskunde laat vatten is merkwaardig.
Livio heeft er een aardig boek over geschreven, maar eigenlijk gaat het nauwelijks over de Grote Vraag, of de effectiviteit van wiskunde een diepere betekenis kan hebben, moet hebben of helemaal niet heeft. Een paar leuke anekdotes en verhalen, dat wel.
Mario Livio: Is God een wiskundige? Uitg. Veen Magazines, 384 blz, 2010, €29,95
Door René Fransen
Wiskunde. Alleen het woord doet menigeen gruwen. Beelden van wanhopige worstelingen met complexe vergelijkingen, kwadraten, derdemachten en de gruwel der gruwelen: differentiaalvergelijkingen. Toch is het vak zo fundamenteel dat het ministerie van onderwijs het verplicht stelt voor verschillende schooltypen.
Want wiskunde is overal. Er is bijna geen universitaire of hbo-studie die geheel wiskundeloos is. Maar dat niet alleen. Wiskunde is wat in dit digitale tijdperk veel van onze moderne apparaten aanstuurt. Zonder wiskunde zou internet niet bestaan, zouden cd-spelers niet zonder haperingen kunnen werken, zou telebankieren of pinnen niet veilig zijn. En zonder wiskunde zouden we de wereld om ons heen niet zo diep kunnen doorgronden als we nu doen.
De zwaartekracht bijvoorbeeld kan worden beschreven in een simpele wiskundige formule. De baan van sterren en planeten volgt ook uit een formule. De hele natuur- en scheikunde zou niet bestaan zonder wiskunde. Tal van natuurlijke fenomenen zijn zo via wiskunde terug te brengen tot begrijpelijke en vaak voorspelbare proporties.
In 1960 publiceerde de Hongaars-Amerikaanse natuur- en wiskundige Eugene Wigner (hij zou drie jaar later de Nobelprijs voor Natuurkunde ontvangen) een essay met de titel ‘De onredelijke effectiviteit van wiskunde in de natuurwetenschappen’. Wigner betoogde dat het ‘verbazingwekkend is dat natuurwetenschappelijke fenomenen zich zo goed laten uitdrukken in wiskundige formules. Wiskunde is immers een menselijke uitvinding, puur een product van ons eigen intellect. In de christelijke apologetiek wordt die ‘onredelijkheid’ wel eens gezien als weer een aanwijzing voor een schepper, naast bijvoorbeeld het enorme toeval dat alle natuurconstanten in ons universum juist díe waarde hebben die leven mogelijk maken. Maar ook niet-gelovigen vragen zich af waar die onredelijke effectiviteit vandaan komt. Een zoektocht naar het antwoord is wat sterrenkundige en wetenschapsvoorlichter Mario Livio bracht tot het schrijven van zijn boek ‘Is God een wiskundige?’.
Livio stelt zich in dit boek de vraag, of wiskunde een ontdekking is of een uitvinding. Anders gezegd: is wiskunde inderdaad ontsproten aan het menselijk brein (een uitvinding) of zat het verstopt in de natuur (een ontdekking). In dat laatste geval is het mysterie van de onredelijke effectiviteit van de wiskunde grotendeels opgelost. Blijkbaar zit de wereld dan zo in elkaar.
Het boek begint met een terugblik naar de oorsprong van onze wiskunde. Livio legt die bij de oude Grieken, hij begint met Pythagoras (ca 572-497 v. Chr.). Pythagoras was een mysticus, die in getallen een weg zag naar het hogere. Wiskunde speelde een belangrijke rol in de Griekse filosofie, ook Aristoteles en Plato hielden zich er nadrukkelijk mee bezig. Maar wiskunde was wel gegrondvest in de werkelijkheid: het was eigenlijk vooral meetkunde.
De ontwikkeling in de wiskunde werd eeuwenlang gedreven door vormen. De ontdekking van het ‘getal’ pi volgt bijvoorbeeld uit onderzoek naar cirkels. Pi is een getal dat we niet volledig kunnen uitschrijven. De waarde is ongeveer 3,14 maar het aantal decimalen achter de komma is oneindig. Maar inmiddels is pi een onontbeerlijk stuk gereedschap in de hele wiskunde. Zoals de eerder aangehaalde Eugene Wigner opmerkte, ook in statistieken over bevolkingsopbouw is het getal nodig. Dat is toch merkwaardig, want de samenstelling van de bevolking in een land heeft niets met cirkels te maken.
Na een algemene terugblik zoomt Livio in op ‘wiskundige magiërs’, mannen die verantwoordelijk waren voor fundamentele doorbraken in de wiskunde. Archimedes en Galileo Galileï horen daarbij. Van de oude Griek is de uitspraak ‘geef mij een vast punt en ik zal de aarde bewegen’, die volgt uit zijn begrip van de hefboomwerking. Maar ook René Descartes en Isaac Newton rekent Livio tot deze groep. Na deze magiërs volgt een beschrijving van modernere wiskunde, de ontwikkeling van pakweg de laatste 200 jaar.
Keer op keer vraagt Livio zich af, waar de nieuwe inzichten vandaan kwamen. Meetkunde was lang leidend, wiskundigen gingen daarom in formules niet verder dan de derdemacht. Een kwadraat stond immers voor een oppervlak (lengte maal breedte) en de derdemacht voor inhoud (lengte maal breedte maal hoogte). Maar een vierdemacht, dat sloeg nergens op.
Uiteindelijk wierp de wiskunde deze beperking van zich af en ging de wereld van de ‘hogere machten’ onderzoeken. Toch bleken ook die keer op keer weer iets met de werkelijkheid te maken te hebben.
Deze hogere wiskunde levert ons soms moeilijk te bevatten concepten op, zoals de snaartheorie die de wereld beschrijft in elf dimensies. Natuurkundigen vermoeden dat deze wiskundige beschrijving uiteindelijk een ‘theorie van alles’ kan opleveren, een theorie die een complete beschrijving geeft van het universum en alles wat zich daarin afspeelt.
Een deel van de lezers zal vermoedelijk afhaken in de tweede helft van het boek. De geschiedenis van de wiskunde is goed te begrijpen, ook voor wie nooit hoge cijfers op wiskunde haalde. Maar voorbij de klassieke ‘magiërs’ wordt het boek lastig voor wie niet zo goed in de wiskunde zit. De stijl die Livio hanteert, met nogal veel lange citaten van wiskundigen, helpt daar niet bij. Tekenend is de afsluiting van het boek, een enkele zin van Bertrand Russel die zich echter over tien regels uitstrekt. De betekenis van die zin wordt pas na enkele keren herlezen echt duidelijk. Dat is jammer.
Maar wat is eigenlijk de conclusie van het boek? Wel, de vraag uit de titel wordt niet echt beantwoord. Wiskunde is deels uitvinding, deels ontdekking. Een voorbeeld: gewone getallen bestaan, maar priemgetallen (die alleen deelbaar zijn door zichzelf en door 1) zijn als concept een uitvinding. Dat we priemgetallen kunnen gebruiken bij het coderen van informatie (bijvoorbeeld als beveiliging bij telebankieren), hebben we dus aan onszelf te danken. Maar waarom wiskunde zo onredelijk effectief is bij het beschrijven van de werkelijkheid – zelfs als die elf dimensies blijkt te bevatten – dat blijft een mysterie.
Foute tegenstelling: ontdekken of uitvinden!
Of wiskunde nu een uitvinding of ontdekking is, in geen van beide gevallen hoeven we ons echt te verbazen. Uitvinding: dan is het een stuk gereedschap dat vaak nuttig is, soms niet. Ontdekking: heb je eenmaal spelregels, axioima’s vastgelegd, dan volgen daar dingen uit die je niet voorzien had. Ook niets bijzonders. Wat komt er toch verbazingwekkend weinig wiskunde in de Bijbel voor; erg weinig als God wiskunde heeft bedacht ten behoeve van de mens.
Foute tegenstelling: ontdekken of uitvinden! Eerst construeer je een stukje wiskunde (uitvinden), dan ga je er mee aan de slag, en vervolgens ontdek je nieuwe eigenschappen.
Hoezo onredelijke effectiviteit van wiskunde in de natuurwetenschappen? Je kiest toch het soort wiskunde dat je wilt toepassen? Euclidische of niet-Euclidische meetkunde? Je kiest het toch!
“Een voorbeeld: gewone getallen bestaan, maar priemgetallen () zijn als concept een uitvinding.”
Onzin! gewone getallen zijn net zo goed een uitvinding als welk ander soort getal dan ook. De geschiedenis van de wiskunde laat dat zien.
“Maar waarom wiskunde zo onredelijk effectief is bij het beschrijven van de werkelijkheid” je geeft zelf al het antwoord bij een toepassing van priemgetallen: WIJ zoeken een toepassing.
Hoe zit het met de onredelijke effectiviteit van Romeinse cijfers? waarom rekenen wij daar niet meer mee?
Tenslotte: als God een wiskundige is, waarom staat er dan nul komma nul wiskunde in het Woord van God, de Bijbel?
Hoe eenvoudig is het om in de biologie de vorm van een boom wiskundig te beschrijven? L-systems? gaat, maar lastig. Fractals? Ja, dat lijkt aardig te lukken. Maar Fractal geometry moest wel eerst uitgevonden worden!
@ Gert, even voor de duidelijheid, de vraag die dit boek aanpakt is niet van vandaag of gisteren, maar komt uit dit essay van Eugene Wigner (zie hier de tekst).
Het is niet per se zo dat wij een toepassing zoeken, stelt Wigner, wiskunde brengt ons voorbij wat op basis van empirie kunnen voorspellen (zie link).
En de vraag uit de titel betekent niet dat de auteur gelovig is. Het is een manier van spreken van veel natuurkundigen en fysici (‘God dobbelt niet’) die door biologen meestal als ‘not done’ wordt gezien.
Dus je vraag naar wiskunde in de Bijbel (behalve pi = 3) is hier niet echt relevant. Los van het feit dat de Bijbel (zie Calvijn) geen natuurwetenschappelijk boek is.
Dit nog los van het feit dat een Bijbel vol wiskunde vermoedelijk niet zo’n succes was geworden 😉
M’n eerste vraag zou natuurlijk zijn “Welke god ?”, want er zijn er zoveel uitgevonden (en nog steeds niet ontdekt !).
Blijkbaar verkoopt “god” in je titel nog steeds goed …
@ Eelco, met die laatste opmerking sla je wat dit boek betreft de spijker op z’n kop.
Uit het Wigner artikel:
“The miracle occurred only when matrix mechanics, or a mathematically equivalent theory, was applied to problems for which Heisenberg’s calculating rules were meaningless. Heisenberg’s rules presupposed that the classical equations of motion had solutions with certain periodicity properties; and the equations of motion of the two electrons of the helium atom, or of the even greater number of electrons of heavier atoms, simply do not have these properties, so that Heisenberg’s rules cannot be applied to these cases. Nevertheless, the calculation of the lowest energy level of helium, as carried out a few months ago by Kinoshita at Cornell and by Bazley at the Bureau of Standards, agrees with the experimental data within the accuracy of the observations, which is one part in ten million. Surely in this case we “got something out” of the equations that we did not put in”.
Dat is geen wiskundig “mirakel”, maar een fysisch. Dit is een voorbeeld van fysisch reductionisme. Blijkbaar kun je een helium atoom (een kern en twee electronen) beschrijven als het resultaat van de interactie van elk electron afzonderlijk met de kern en van de electronen met elkaar. Dat is althans het simpele Hylleraas model. Dat is een generalisatie van het simpele waterstofatoom en met generalisaties moet je altijd maar afwachten of het klopt. Zie ook http://www.pnas.org/content/97/1/28.full, daarin de uitdrukking van H voor een in principe nagenoeg oneindig groot ensemble van kernen en electronen; waarom zou dat moeten kloppen? In die uitdrukking, op de tweede regel, zie je de electron-kern, de electron-electron en de kern-kern interacties als “losse” componenten. Uit de moderne theorie van de vaste stof krijg je de indruk dat die uitdrukking aardig klopt, terwijl die uitdrukking mijlenver van het geisoleerde waterstof atoom afstaat. Zoals altijd is die uitdrukking slechts een beperkte effectieve lage energie uitdrukking: de electromagnetische wisselwerking wordt klassiek beschreven, terwijl b.v. voor laserinteractie met de vaste stof quantum electrodynamica vereist is.
De vraag is dus eerder: waarom lijkt de natuur wetmatig en reduceerbaar te zijn? B.v. waarom kun je reproduceerbare chemische reacties uitvoeren? Waarom zien de golven aan het strand er, afhankelijk van windkracht en -richting, zo reproduceerbaar uit? Waarom zijn er herkenbare wolkenvormen (schaapjeswolken etc) in de lucht?
Reductionisme, wellicht?
Rene, nog even dit (laat even de rest zitten):
Kunnen Euclidische EN niet-Euclidische meetkunde tegelijk onredelijk effectief zijn in het beschrijven van de werkelijkheid? (ik ga er van uit dat ze elkaar uitsluiten)
@ Gert, volgens mij sluiten die elkaar niet uit, maar gelden ze simpelweg onder verschillende omstandigheden (plat of gekromd vak). Maar dat weet ik niet 100 procent zeker…
Euclidische meetkunde is een goede benadering van niet-Euclidische meetkunde als de ruimte niet al te krom is. De eerste is een speciaal geval van de tweede.
Vergelijk Newton’s en Einstein’s versie van zwaartekracht. Vaak is de Newtoniaanse benadering nog altijd heel goed bruikbaar.
Niet-euclidische meetkunde is meetkunde waarbij het vijfde postulaat van Euclides (het parallellenpostulaat) NIET wordt aangenomen.
Eelco, Rene,
zélfs als je aanneemt dat ze elkaar niet uitsluiten (ondanks het woordje NIET), blijft de vraag
of BEIDE meetkundes een onredelijk effectieve beschrijving van de werkelijkheid geven.
Wat is het antwoord Ja of Nee?
Kleur bekennen!
Gert, meetkunde an sich geeft helemaal geen beschrijving van de werkelijkheid, het is pure wiskunde; in de (niet)Euclidische meetkunde komen geen fysische grootheden voor. Dat is altijd zo met meetkunde (geometry). Zo heb je ook “finite geometry”, “projective geometry”, etc. gewoon als formele systemen. Het punt is dat een wiskundige ruimte iets anders is dan de fysische ruimte.
@gert:
zoals gezegd, dat hangt dus helemaal van de situatie af. Newtoniaanse zwaartekracht werkt met Euclidische ruimtes, en is een speciaal geval van de algemene gravitatie theorie van Einstein die met niet-Euclidische ruimtes werkt.
In ruimtes met een zwak zwaartekrachtveld werken beiden goed in de praktijk, ook al is Einstein’s theorie in principe altijd beter (=vollediger), maar kan ook als ‘overkill’ gezien worden. Voor sterkere zwaartekrachtsvelden moet je wel naar Einstein’s theorie (met niet-Euclidische geometrieen): dan werkt die van Newton echt niet meer.
Wellicht kun je het zo zien: een niet-euclidische ruimte kun je lokaal vaak als euclidisch benaderen.
Zie ook http://en.wikipedia.org/wiki/Non-Euclidean_geometry , waar ook de parallel met ruimtetijd wordt gemaakt.
@gert:
maar misschien begrijp ik niet wat je in je vraag met “onredelijk effectief” bedoelt …
Opvallend in Johannes 1 is dat Jezus Christus de Logos wordt genoemd. “Logos” dat daar vertaald is als “Woord” maar ook wijst naar “rede” en “verstand”. De stap van Logos naar Logica is maar klein en dit woord wijst ook op “berekening” en “getal”. Hier blijkt de orde van de wiskunde tevoorschijn te komen en ook de wetmatigheden van de fysica (en daar weer achter de bio-logie, psycho-logie, geo-logie, techno-logie en elke andere …-logie).
Onze God is een God van orde en structuur. Wie op een zeker moment meent dat een verschijnsel of voorval “logisch” is, verwijst daarmee, bedoeld of niet, naar de Schepper die ook de Oorsprong is van alle logica. En in de Oorsprong van X-, Y-, Z- t/m N-as komen alle dingen samen. Deze Oorsprong is het vertrekpunt van alle orde, van alle samenhang en structuur en van het beginpunt van Leven.
Wat bedoelt u precies met de N-as? Dat alle dimensies, hoeveel het er ook mogen zijn, uit Hem voortkomen? Dat is dan zeker zo. Het is verbazingwekkend, dat duizenden jaren lang, eveneens duizenden geleerden en wetenschappers reeds bezig zijn om de geheimen van de schepping te ontrafelen. Alle geologen, biologen, natuurkundigen, scheikundigen, astronomen, psychologen, cosmologen en andere -logen tezamen, hebben met elkaar slechrs een fragmentje van zijn kennis. Hij is de grote Omniloog, inderaad de Logos.